証明 2011-07-04 12:00 a
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昨日の記事で
「ハイロウが儲かることを数学的に証明できてない」と言ったのだけれど、よく考えれば簡単ですね。
このくらいなら自分が今さら言うまでもなく気づいてる方がいただろうな……
ということで
以下数学っぽく書いてみる。
興味の無い方は飛ばしてください。
問い
1～14のいずれかであるn個の数A1～Anがある。
いまk=1～n-2に対し
「Ak≦7ならばAk＜A(k+1)、Ak≧8ならばAk＞A(k+1)」が成立している。
Anが1～14の各数である確率が等しい時
「A(n-1)≦7ならばA(n-1)＜An、A(n-1)≧8ならばA(n-1)＞An」が成立する確率が1/2より大きいことを示せ。
解答
A(n-1)=αであるという前提で条件が成立する条件付き確率をP(α)とおく。
P(7)=P(8)=1/2であり、それ以外の数についてP(α)＞1/2……(1)
また、A(n-1)が7または8である確率は1でない……(2)
(1)(2)より条件が成立する確率は1/2より大きい。
分かりやすくいうと
直前のカードに関わらず、何回目の挑戦かにも関わらず、当たる確率は50％以上。
で、「50％より高い確率で当たる」ような場合も必ずまぎれてるから全体からみれば必ず50％より大きな確率で当たる。
だから
50％より高い確率でコインが2倍になるということは、やればやるほど期待値は掛け金より大きくなる。
どうでもいいけど
「1+1=2の証明」が流行ってるのは数学ガールのせい？
コメント:
raid『今はなき青い鳥さんの日記のおかげですね。』
a『訂正：「問い」の4行目の続きに "任意のnに対し" を追加してください』